Análisis De Series Temporales Media Móvil Ppt

Análisis de series de tiempo Autocorrelación Naive Promedios simples Promedios móviles Análisis de regresión suavizante exponencial. Presentación sobre el tema: Análisis de series temporales Autocorrelación Naive Promedios simples Promedios móviles Análisis de regresión suavizante exponencial. Transcripción de la presentación: 1 Análisis de series temporales Autocorrelación Naive Promedios simples Promedios móviles Suavizado exponencial Análisis de regresión 2 Modelos de series temporales Tendencias: media móvil lineal, suavizado exponencial, regresión, curvas de crecimiento Estacionalidad: descomposición clásica, regresión múltiple, serie temporal Box-Jenkins Cíclico: clásico Métodos de predicción, descomposición, indicadores económicos, modelos econométricos, regresión múltiple y método de pronóstico. Muchas veces por intuición, experiencia previa o disponibilidad de recursos informáticos Divida los datos en dos secciones: una parte de inicialización y una parte de prueba. Técnica de pronóstico para determinar los valores ajustados para el conjunto de datos de inicialización Utilizar la técnica de pronóstico para pronosticar el conjunto de datos de prueba y determinar los errores de pronóstico Evaluar errores (MAD, MPE, MSE, MAPE) Utilizar la técnica, modificar o desarrollar un nuevo modelo 4 Naive Modelos Los periodos recientes son los mejores predictores del futuro Ajustes a modelos ingenuos Tasa de cambio de tendencia 5 Utilizar como inicialización Usar 1996 como el conjunto de datos de prueba Predecir el primer período en 1996 Error de pronóstico: Pronóstico para los trimestres restantes de 1996 y calcular el error - 7 Métodos Nave: Tasa de Cambio También puede utilizar modelos Nave para las previsiones estacionales - los datos indican que el primer trimestre parece ser superior a 2,3,4. 8 Métodos Promedios Métodos Promedios - rápidos, económicos (sólo deben usarse en datos estacionarios) Promedios móviles - un número constante especificado al principio y una media calculada para las observaciones más recientes - como una media móvil de 3 ó 4 periodos. Funciona mejor con datos estacionarios. Cuanto mayor sea el orden de la media móvil, mayor será el efecto de suavizado. N más grande cuando hay fluctuaciones amplias e infrecuentes en los datos. Suavizando los valores reales recientes, elimina la aleatoriedad. 9 Si sospecha estacionalidad, con datos trimestrales, tiene sentido usar una media móvil de 4 periodos (los datos mensuales usarían una media móvil de 12 periodos). Cuanto mayor sea el número de períodos, más suaves serán las fluctuaciones. 11 Cuantos períodos Para determinar cuántos periodos usar para una media móvil, recuerde: Cuanto menor sea el número, más peso se dará a los periodos recientes. Un número más pequeño es deseable cuando hay cambios repentinos en el nivel de la serie. Cuanto mayor sea el número, menos peso se dará a los períodos más recientes. Un número mayor es deseable cuando hay fluctuaciones amplias o infrecuentes en los datos. 12 Promedios móviles dobles Promedios móviles dobles - diseñados para manejar datos de tendencias. Se calcula un conjunto de promedios móviles y luego se calcula un segundo conjunto como media móvil del primer conjunto. Promedio móvil ponderado - ponen más peso en las observaciones recientes. La suma de los pesos debe ser igual a 1. 13 Más sobre los promedios móviles Las medias móviles se usan con datos trimestrales o mensuales para ayudar a examinar los componentes dentro de una serie de tiempo. Utilizado como pronóstico, las medias móviles de gran orden prestan muy poca atención a las fluctuaciones en la serie de datos Minitab hace un gran trabajo con SMA. Sin embargo, tendrá que utilizar Excel para calcular DMA. 14 Moving average Data Rents Longitud NMissing 0 Longitud media móvil: 3 Medidas de precisión MAPE: MAD: MSD: Período de fila Rentas AVER1 Predict Error Período de fila FORE1 Estado superior inferior, serie temporal, media móvil Introduzca el nombre de la variable y el número de períodos Ejemplo utiliza una media móvil de 3 periodos. MAPE, MAD y MSE (se anota como MSD para la media de desviaciones cuadradas) se calcula automáticamente. 15 Fórmulas para DMA 1. En Excel, calcule una SMA. 2. Calcule el DMA del SMA con un SMA usando el mismo número de períodos 3. Calcule las diferencias entre SMA y DMA. Este valor se anota como a. 4. Calcular un factor de ajuste (similar a la pendiente en la regresión) que mide el cambio en la serie, anotado como b. 5. Calcule los períodos de previsión p en el futuro (normalmente 1) 6. Calcule el error para cada período 17 Fórmulas de Celda Excel tiene una función de Moving Average incorporada en el paquete de herramientas de Análisis de Datos, pero es sólo un SMA. 18 Intervalos de predicción Una buena manera de probar para ver si su modelo tiene una buena previsibilidad es mirar la probabilidad de que los valores reales estarán dentro de un intervalo de 95. Si n 19 Métodos de Suavizado Exponencial Único Suavizado Exponencial (Promedio) Seguimiento Doble Exponencial Suavizado Holts Método Winters Modelo 20 Exponencial Suavizado Métodos Revisar continuamente un pronóstico a la luz de experiencias más recientes. Promedio (suavizado) valores pasados ​​de una serie de una manera decreciente (exponencial). Las observaciones se ponderan con más peso dado a las observaciones más recientes. 21 Métodos de Suavizado Exponencial Al mirar la fórmula - es realmente el viejo pronóstico más veces el error en el pronóstico anterior Para empezar, necesitamos una constante de suavizado, una inicial Pronóstico y un valor real. Puede utilizar el primer real como el valor de pronóstico o puede promediar las primeras n observaciones. El valor predeterminado de Minitabs es 6. La constante de suavizado sirve como factor de ponderación. Cuando es cercano a 1, el nuevo pronóstico incluirá un ajuste sustancial para cualquier error que ocurrió en el pronóstico anterior. Cuando es cercano a 0, el nuevo pronóstico es muy similar al pronóstico anterior. Procedimiento iterativo a escoger minimizando MSE. La constante de suavizado no es una elección arbitraria, pero generalmente cae entre 1 y 5. Si queremos que las predicciones sean estables y la variación aleatoria esté suavizada, utilice una pequeña. Si queremos una respuesta rápida, se requiere un valor mayor. 22 Utilice Minitab para generar salida. 382 MAD: MSD: Ventas de tiempo de fila SMOO1 Pronosticar RESI Predicción de período de fila Lower Upper Observe que se establece en.1 y que el valor de pronóstico inicial es el primer valor real de predicción Valor Intervalo de seguimiento exterior 24 Fila Tiempo Ventas Sólido Predict Error Predicción de período Predeterminado Límite inferior superior Límites exponenciales de datos Longitud de ventas NMissing 0 Alzamiento constante Alfa: 0,6 Medidas de precisión MAPE: 36,5 MAD: MSD: Sólo se puede pronosticar por 1 período Datos reales del período actual. Si pronostica más de un período, se mantendrá igual que un pronóstico de 1 período. 26 Seguimiento Utilice una señal de seguimiento (medida de errores en el tiempo) y establezca límites. Por ejemplo, si pronosticamos 10 períodos, cuente el número de errores negativos y positivos. Si el número de errores positivos es sustancialmente menor o mayor que n / 2, entonces el proceso está fuera de control. También puede usar el intervalo de predicción 95 (1.96 sqrt (MSE)). Si el error de pronóstico está fuera del intervalo, utilice un nuevo óptimo. Mirando hacia atrás, el único suavizado exponencial: 1.96sqrt (24261) La observación 21 está fuera de control. Necesitamos reevaluar el nivel alfa porque esta técnica está sesgada. 27 Suavizado Exponencial Doble También conocido como Método Browns. Se utiliza para pronosticar una serie con una tendencia lineal. 28 Suavizado Exponencial Doble Utiliza un solo coeficiente, alfa, para ambas operaciones de suavizado. Calcula la diferencia entre los valores suavizados simples y dobles como una medida de la tendencia (a t). A continuación, agrega este valor al valor de suavizado único junto con un ajuste para la tendencia actual (b t). En Minitab, utilice el mismo valor para la tendencia y el nivel. NO optimizar para Browns Método Minitab establece el valor inicial para la serie suavizada y el ajuste de tendencia mediante el cálculo de las tendencias de pendiente y de intercepción utilizando el método de mínimos cuadrados. Si utiliza Excel, utilice los valores reales del período 1 para estimar los valores únicos y dobles exponencialmente suavizados. Tenga en cuenta que Excel está suponiendo que no hay tendencia presente y tenderá a subestimar 29 Antes de ejecutar el método de Browns aquí es exponencial simple para los datos de alquiler con set to.2 30 Row Time Rents Predicción lisa Errores Período de fila Predicción Lower Upper Double Exponential Smoothing Data Rents Length NMissing 0 Constantes suavizantes Alfa (nivel): 0,4 Gamma (tendencia): 0,4 Medidas de precisión MAPE: MAD: MSD: El valor SMOOTH es un Minitab NO emite el valor de b puede calcular el valor de b1 tomando Prediction para el período 2 Y restando el valor Smooth para el período 1. Puede almacenar b en Mintab seleccionando la opción TREND en Resultados. 31 Observe que el MSE es mucho más bajo que el suavizado exponencial simple y que el valor suavizado está mucho más cerca de los datos. Esto se debe a las tendencias. 34 Ajuste de lo mejor El nivel debe estar siempre entre 0 y 1. Sin embargo, Minitab es conocido por violar esta regla. Por lo general, utilizar.1 a.5. Se convierte en un arte y una ciencia en escoger el nivel correcto - permanecer con el objetivo de minimizar MSE. Esto puede requerir la ejecución de diferentes niveles y la comparación de los valores MSE. 35 Holts Método Extensión de Browns doble suavizado exponencial, pero utiliza dos coeficientes. Es la constante de suavizado para el nivel es la constante de suavizado de tendencia - se utiliza para eliminar el error aleatorio Usando Minitab, seleccione el OPTIMAL - pero se dan cuenta, Minitab violará el entre 0 y 1. 36 Winters Método Extiende Holts Método para incluir una estimación de estacionalidad. Es la constante de suavizado para el nivel es la constante de suavizado de tendencia - se utiliza para eliminar la constante de suavizado de error aleatorio para la estacionalidad Esta fórmula divertida elimina efectos estacionales. El pronóstico se modifica multiplicando por un índice estacional. Calcularemos este índice estacional en el Capítulo 8. 37 Tiempo de Fila Ventas Predicción Sólida Error Período de Fila Predicción Lower Lower Winters modelo multiplicativo Ventas de Datos Longitud NMissing 0 Constantes Suavizantes Alfa (nivel): 0,4 Gamma (tendencia): 0,1 Delta (estacional): 0,3 Medidas de Precisión MAPE: MAD: MSD: Modelo multiplicativo porque estamos multiplicando el índice estacional por los valores actuales de suavizado y tendencia. Puede utilizar la opción Almacenamiento para almacenar los resultados de tendencia y de temporada. 39 Más sobre los Inviernos Con el fin de Previsión, tendría que tener las tres estimaciones. Utilice Minitab para pronosticar. En el examen, se le pedirá que indique el pronóstico de la salida. Para Browns, Holt, Winters no necesitará calcular un pronóstico. Debe ser capaz de calcular un pronóstico para las medias móviles y el suavizado exponencial simple. También debe ser capaz de desarrollar intervalos de predicción, realizar un seguimiento del pronóstico y determinar el mejor pronóstico comparando MSE. No trate de memorizar las fórmulas, pero sí las diferencias entre los modelos 40 Para la próxima vez Vamos a ejecutar todos los modelos del capítulo 4 y comparar con MSE y también rastrear los errores basados ​​en 95 intervalos utilizando los datos del caso 3.3. Introducción al análisis de series de tiempo 2 Introducción al análisis de series de tiempo 2 Análisis de regresión versus series temporales En el análisis de regresión, estimamos modelos que intentan explicar el Movimiento en una variable relacionándola con un conjunto de variables explicativas El análisis de series de tiempo intenta identificar las propiedades de una variable de serie temporal y usa modelos para predecir la trayectoria futura de la variable basada en su comportamiento pasado Ejemplo Cómo se mueven los precios de las acciones a través del tiempo El análisis de regresión múltiple con datos de series de tiempo también puede conducir al problema de la regresión espuria Ejemplo Supongamos que estimamos el siguiente modelo con datos de series de tiempo La regresión estimada Puede resultar tener un alto R-sq a pesar de que no existe una relación causal subyacente Las dos variables pueden tener simplemente la misma tendencia subyacente (moverse juntos a través del tiempo) 4 A Simple Time Series ModelThe Random Walk Model Cómo podemos modelar el comportamiento de Los datos financieros tales como los precios de las acciones, los tipos de cambio, los precios de los productos básicos Un modelo simple para empezar es el modelo de caminata aleatoria dado por Este modelo dice que el valor actual de la variable y depende de las variables valor en el período anterior. Se supone que tiene una media de cero y una varianza constante. 5 A Modelo de la serie temporal simple El modelo de la caminata aleatoria Qué implica este modelo acerca de una previsión de un valor futuro de la variable y De acuerdo con el modelo Por lo tanto, El valor esperado del término de error es cero 6 A Modelo Simple de Serie de TiempoThe Random Walk Modelo Implicación La mejor predicción del valor futuro de la variable y es su valor actual Si la variable y sigue una caminata aleatoria, entonces podría moverse en cualquier dirección sin ninguna Tendencia a regresar a su valor actual Si reescribimos el modelo de caminata aleatoria de la siguiente manera, entonces nos referimos a una caminata aleatoria con una deriva, lo que significa una tendencia (hacia arriba o hacia abajo) 7 Proceso de ruido blanco Supongamos que la variable y es modelada de la siguiente manera: Es una variable aleatoria con una media de cero, una varianza constante y una correlación cero entre observaciones sucesivas. Esta variable sigue lo que se denomina un proceso de ruido blanco, lo que implica que no podemos predecir valores futuros de esta variable. Para predecir la trayectoria futura de una variable basada en la información sobre su comportamiento pasado, significando que la variable exhibe algunas regularidades Una manera valiosa de identificar tales regularidades es con el concepto de stationarity Digo que una variable de la serie de tiempo Yt es inmóvil si La variable ha Una constante en todos los puntos del tiempo La variable tiene una varianza constante en todos los puntos en el tiempo La correlación entre Yt y Yt-k depende de la longitud del retraso (k), pero no de ninguna otra variable 9 Estacionariedad en series temporales Qué tipo De una variable de la serie temporal exhibe este comportamiento Una variable que se mueve ocasionalmente lejos de su media (debido a un choque aleatorio), pero finalmente vuelve a su media (exhibe la reversión media) Un choque en la variable en el período actual se reflejará en la Valor de la variable en períodos futuros, pero el impacto disminuye a medida que nos alejamos del período actual. Ejemplo La variable de retornos de acciones de Boeing muestra las propiedades de estacionaria 10 Boeings regresos mensuales de acciones (1984-2003) Que no cumple con una o más de las propiedades de la estacionariedad es una variable no estacionaria Cuál es la implicación de la no estaciona - riedad para el comportamiento de la variable de la serie temporal Un choque en la variable en el período actual nunca muere y provoca una desviación permanente en las variables Ejemplo El índice SP 500 (a diferencia de los retornos del índice SP que exhiben estacionariedad) 12 El Índice SP 500 presenta la no estaciona - riedad El mayor impacto de la no estaciona - riedad para el análisis de regresión es la regresión espuria Si las variables dependientes y explicativas no son esta - cionarias, obtendremos altas R-sq y t-estadısticas, lo que implica Que nuestro modelo está haciendo un buen trabajo explicando los datos La verdadera razón del ajuste del buen modelo es que las variables tienen una tendencia común Una simple corrección de la no estacionabilidad es tomar las primeras diferencias de variables (Yt Yt-1), lo que crea una Variable estacionaria 15 Prueba de no estacionariedad Una prueba común para detectar la no estaciona - lidad consiste en realizar una prueba Dickey-Fuller (prueba de raíz unitaria). La prueba estima el siguiente modelo y prueba la siguiente hipótesis unilateral 16 Prueba de no estaciona - lidad Si la estimación de 1 es significativamente Menor que cero, entonces rechazamos la hipótesis nula de que no hay estacionariedad (lo que significa que la variable Y es estacionaria) Nota Los valores críticos de las estadísticas t para la prueba de Dickey-Fuller son considerablemente más altos que los de las tablas de la distribución t Ejemplo Para n 120, el estadístico t crítico de las tablas es cercano a 2.3, mientras que el valor correspondiente de las tablas de Dickey-Fuller es 3.43 17 Caracterización de las Variables de la Serie de Tiempo La Función de Autocorrelación (ACF) La ACF es una herramienta muy útil porque proporciona una descripción Del proceso subyacente de una variable de serie temporal La ACF nos dice cuánta correlación hay entre puntos vecinos de una variable de serie temporal Yt La ACF de lag k es el coeficiente de correlación entre Yt y Yt-k sobre todos esos pares en el conjunto de datos En la práctica, utilizamos la muestra ACF (basada en nuestra muestra de observaciones de la variable de series de tiempo) para estimar la ACF del proceso que describe la variable Las autocorrelaciones de muestra de una variable de serie temporal Puede ser presentado en un gráfico llamado el correlograma El examen del correlograma proporciona información muy útil que nos permite comprender la estructura de una serie de tiempo 19 Caracterización de las variables de la serie temporal Función de autocorrelación (ACF) Ejemplo La ACF de una serie estacionaria exhibe un cierto Patrón que puede ser detectado mediante el estudio del correlograma Para una serie estacionaria, las autocorrelaciones entre dos puntos en el tiempo, t y tk, se hacen más pequeños a medida que k aumenta. En otras palabras, la ACF cae bastante rápidamente a medida que k aumenta Para una serie no estacionaria, No es el caso, ya que el ACF sigue siendo grande a medida que k aumenta 20 Correlograma y ACF de la variable de índice SP Observe que a medida que aumenta el número de retrasos (k), la ACF disminuye, pero a un ritmo muy lento. Variable no estacionaria Comparar este resultado con el gráfico del nivel del índice de PS mostrado anteriormente 21 Correlograma y ACF de Retornos en el Índice de SP Un examen del correlograma de la variable de retornos en el índice de SP muestra que esta variable presenta estacionariedad. 22 Caracterización de las Variables de la Serie de Tiempo La Función de Autocorrelación (ACF) Para evaluar la calidad de la información a partir del correlograma, se evalúan las magnitudes de las autocorrelaciones de la muestra mediante la comparación Con algunas fronteras Podemos demostrar que las autocorrelaciones de la muestra se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 1 / (n) 1/2 En este caso, se esperaría que sólo 5 de autocorrelaciones de la muestra estarían fuera de un intervalo de confianza de. 2 desviaciones estándar 23 Caracterización de las variables de la serie temporal Función de autocorrelación (ACF) Dado que el correlograma muestra valores de autocorrelaciones, estos valores no pueden estar fuera del intervalo. 1 En la práctica, si las autocorrelaciones de la muestra están fuera de los intervalos de confianza dados por el correlograma, entonces las autocorrelaciones de la muestra son Diferente de cero al nivel de significación correspondiente 24 Correlogramas e Intervalos de Confianza para Autocorrelaciones de Muestras 25 De Datos de Muestra a Inferencia Acerca de una Serie de Tiempo Modelo de Generación Datos de Muestra Autocorrelaciones de Muestra Autocorrelación de Población Generando Modelo 26 Modelos de Series Temporales Lineales Desarrollar un modelo que proporcione una aproximación razonablemente cercana del proceso subyacente que genera los datos de la serie de tiempo Este modelo puede entonces ser utilizado para predecir valores futuros de la variable de la serie del tiempo Un marco influyente para este análisis es el uso la clase de modelos conocida como Autoregressive 27 Modelos Autoregresivos (AR) En un modelo AR, la variable dependiente es una función de sus valores pasados. Un modelo AR simple es un ejemplo de un modelo autorregresivo de (1) o modelo AR (1) En general, un modelo autorregresivo del modelo de orden p o AR (p) incluirá p lags de la variable dependiente como variables explicativas 28 Modelos Autoregresivos (AR) Es posible concluir que una serie temporal Sigue un modelo AR (p) al observar el correlograma Ejemplo Supongamos que una serie sigue al modelo AR (1) La ACF del modelo AR (1) comienza con el valor de 1 y luego declina exponencialmente La implicación de este hecho es que El valor actual de la variable de serie temporal depende de todos los valores anteriores, aunque la magnitud de esta dependencia disminuye con el tiempo PowerShow es un sitio web de presentación / presentación de diapositivas líder. Si su aplicación es de negocios, cómo, educación, medicina, escuela, iglesia, ventas, marketing, formación en línea o simplemente por diversión, PowerShow es un gran recurso. 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Hay verdaderamente algo para todo el mundo Análisis y pronóstico de series de tiempo I - Presentación de PowerPoint PPT Transcripción y presentadores Notas Título: Análisis y previsiones de series temporales I 1 Análisis y predicciones de series temporales I 2 Introducción Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones generadas secuencialmente en el tiempo. Series de tiempo discretas Las observaciones de una serie temporal discreta, hechas en un intervalo fijo h, a veces 1. 2. N puede ser denotado por z (1), z (2). Las series temporales discretas pueden surgir de dos maneras: 1 - Muestreo de una serie de tiempo continuo 2 - Acumulación de una variable a lo largo de un período de tiempo Características de series temporales Los períodos de tiempo son de igual longitud Sin valores faltantes 4 Componentes de una serie temporal Zt Ft at 5 Áreas de aplicación Predicción Determinación de una función de transferencia de un sistema Diseño de esquemas sencillos de feed-forward y de retroalimentación 6 Predicción Aplicaciones Planificación económica y empresarial Control de inventario y producción Control y optimización de procesos industriales Plomo Tiempo de las previsiones es el período durante el cual se necesitan pronósticos Grado de sofisticación Ideas sencillas Medias móviles Técnicas de regresión simples Conceptos estadísticos complejos Metodología de Box-Jenkins 7 Enfoques de predicción Enfoque autoproyectado Enfoque de causa y efecto 8 Enfoques de previsión (cont. ) Enfoque autoproyectado Ventajas Aplicación rápida y sencilla Se requiere un mínimo de datos Previsiones razonablemente cortas a medianas a medio Proporcionan una base por la cual las predicciones desarrolladas a través de otros modelos se pueden medir contra Desventajas No es útil para pronosticar en un futuro lejano No Tener en cuenta los factores externos El enfoque de causa y efecto Ventajas Traer más información Previsiones de mediano a largo plazo más precisas Desventajas Se requieren pronósticos de las series temporales explicativas 9 Algunos modelos tradicionales de autoproyección Modelos de tendencia general La tendencia podría ser lineal, exponencial , Parabólica, etc. Una tendencia lineal tiene la forma Trendt A Bt Los cambios a corto plazo son difíciles de seguir Modelos suavizantes Responder al comportamiento más reciente de la serie Emplear la idea de promedios ponderados Varían en el grado de sofisticación El simple suavizado exponencial Método 10 Algunos modelos tradicionales de auto-proyección Modelos estacionales Muy frecuentes La mayoría de las series temporales estacionales también contienen patrones de tendencias a largo y corto plazo Modelos de descomposición La serie se descompone en sus patrones separados Cada patrón es modelado por separado 11 Inconvenientes del uso De los modelos tradicionales No existe un enfoque sistemático para la identificación y selección de un modelo apropiado y, por lo tanto, el proceso de identificación es principalmente de ensayo y error Existe una dificultad para verificar la validez del modelo La mayoría de los métodos tradicionales se desarrollaron de intuitivo y práctico Consideraciones y no desde una base estadística Demasiado estrecha para tratar de manera eficiente con todas las series temporales 12 Modelos ARIMA Autoregresivo Integrado Promedio móvil Puede representar una amplia gama de series temporales Un enfoque de modelado estocástico que puede usarse para calcular la probabilidad de un valor futuro entre En los años sesenta Box y Jenkins reconocieron la importancia de estos modelos en el área de la previsión económica Análisis de series temporales - previsión y control George EP Box Gwilym M. Jenkins 1ª edición fue en 1976 A menudo llamada The Box-Jenkins 14 Modelo de función de transferencia Yt (B) Xt donde (B) 0 1B 2B2. B es el operador de retroceso BmXt Xt - m 15 Modelado de la función de transferencia (cont.) El estudio de la dinámica del proceso puede lograr Mejor control Diseño mejorado Métodos para estimar modelos de función de transferencia Métodos clásicos Basado en perturbaciones determinísticas No se contabilizan perturbaciones incontrolables (ruido) Y por lo tanto, estos métodos no siempre han sido exitosos. Métodos estadísticos Tenga en cuenta el ruido La metodología de Box-Jenkins 16 Control de procesos Control de feed-forward Control de realimentación 17 Control de procesos (cont.) 18 Control consiste en tipificar la perturbación mediante una serie temporal o modelo estocástico adecuado y las características inerciales del sistema mediante un modelo de función de transferencia adecuado. La ecuación de control permite calcular la acción que debe tomarse en cada momento dado el presente y el anterior Estados del sistema Varias formas correspondientes a diversos niveles de sofisticación tecnológica pueden utilizarse para ejecutar una acción de control requerida por la ecuación de control 19 El proceso de construcción del modelo Box-Jenkins Identificación del modelo Estimación del modelo Es modelo adecuado No Modificar el modelo Sí Pronósticos 20 The Box Modelo de construcción del modelo de Jenkins Identificación del modelo Autocorrelaciones Autocorrelaciones parciales Estimación del modelo El objetivo es minimizar la suma de los cuadrados de los errores Validación del modelo Ciertos diagnósticos se utilizan para verificar la validez del modelo Previsión del modelo El modelo estimado se utiliza para generar Predicciones y límites de confianza de los pronósticos 21 Fundamentos importantes A Proceso normal Estacionariedad Diferencia regular Autocorrelaciones (CA) El proceso de ruido blanco El modelo de filtro lineal Invertibilidad 22 A Proceso normal (Un proceso gaussiano) La metodología Box-Jenkins analiza una serie temporal como una realización De un proceso estocástico. La observación zt en un tiempo dado t puede considerarse como una realización de una variable aleatoria zt con función de densidad de probabilidad p (zt) Las observaciones en cualquier dos veces t1 y t2 pueden considerarse realizaciones de dos variables aleatorias zt1, zt2 y con Función de densidad de probabilidad conjunta p (zt1, zt2) Si la distribución de probabilidad asociada con cualquier conjunto de veces es la distribución Normal multivariable, el proceso se denomina proceso normal o gaussiano 23 Procesos estocásticos estacionarios Para modelar una serie de tiempo con Box-Jenkins En términos prácticos, la serie es estacionaria si tiende a preguntarse más o menos uniformemente sobre un nivel fijo. En términos estadísticos, se supone que un proceso estacionario se encuentra en un estado particular de equilibrio estadístico, es decir, p ( Zt) es el mismo para todos los procesos estacionarios (cont.) El proceso se llama estrictamente estacionario si la distribución de probabilidad conjunta de cualquier m observaciones hechas a veces t1, t2. Tm es la misma que la asociada con m observaciones realizadas a veces t1 k, t2 k. Tm k Cuando m 1, la suposición de estacionariedad implica que la distribución de probabilidad p (zt) es la misma para todos los tiempos t 25 Procesos estocásticos estacionarios (cont.) En particular, si zt es un proceso estacionario, entonces la primera diferencia zt zt - Zt-1 y las diferencias más altas dzt son estacionarias La mayoría de las series temporales son no estacionarias 26 Logrando la estacionariedad Diferenciación regular (RD) (primer orden) zt (1 B) zt zt zt-1 (segundo orden) 2zt (1B) 2zt zt 2zt-1 zt -2 B es el operador de cambio hacia atrás Es improbable que más de dos diferencias regulares serían necesarias Algunas veces la diferenciación regular por sí misma no es suficiente y también es necesaria una transformación previa 27 Algunas series no estacionarias 28 Algunas series no estacionarias (cont.) 29 Algunas estaciones no estacionarias Series (cont.) Cómo podemos determinar el número de diferencias regulares. Las autocorrelaciones son medidas estadísticas que indican cómo una serie temporal se relaciona a sí misma con el tiempo La autocorrelación en el retardo 1 es la correlación entre la serie original zt y la misma serie movida hacia adelante un período (representado por zt-1) 31 Las autocorrelaciones estimadas (cont.) La autocorrelación teórica La autocorrelación de la muestra 32 Autocorrelaciones (cont.) Un gráfico de los valores de correlación se denomina correlogram En la práctica, para obtener una estimación útil de la función de autocorrelación se necesitan al menos 50 observaciones Las autocorrelaciones estimadas Rk se calcularía hasta un retraso no mayor que N / 4 33 Un correlograma de un tiempo no estacionario 34 Después de un RD 35 Después de dos RD 36 El proceso de ruido blanco Los modelos de Box-Jenkins se basan en la idea de que una serie temporal puede ser Considerado como generado de (impulsado por) una serie de choques independientes no correlacionados en tal secuencia en, at-1, at-2, se denomina un proceso de ruido blanco 37 El modelo de filtro lineal Un filtro lineal es un modelo que transforma el blanco Ruido al proceso que generó la serie de tiempo zt 38 El modelo de filtro lineal (cont.) (B) es la función de transferencia del filtro 39 El modelo de filtro lineal (cont.) El filtro lineal se puede poner en otra forma Para que un proceso lineal sea estacionario, Si la observación actual zt depende de observaciones pasadas con pesos que disminuyen a medida que retrocedemos en el tiempo, la serie se denomina invertible. Para un proceso lineal Para ser invertible, 41 Modelos constructivos Modelos autoregresivos (AR) Modelos de media móvil (MA) Modelos ARMA mixtos Modelos no estacionarios (modelos ARIMA) El parámetro medio El parámetro de tendencia 42 Modelos autorregresivos (AR) Un modelo autorregresivo de orden p El autorregresivo El proceso puede considerarse como la salida de un filtro lineal con una función de transferencia -1 (B), cuando la entrada es ruido blanco La ecuación (B) 0 se llama la ecuación característica 43 Modelos de media móvil (MA) - average model of order q The moving-average process can be thought of as the output from a linear filter with a transfer function (B), when the input is white noise at The equation (B) 0 is called the characteristic equation 44 Mixed AR and MA (ARMA) models A moving-average process of 1st order can be written as Hence, if the process were really MA(1), we would obtain a non parsimonious representation in terms of an autoregressive model 45 Mixed AR and MA ( ARMA) models (cont.) In order to obtain a parsimonious model, sometimes it will be necessary to include both AR and MA terms in the model An ARMA(p, q) model The ARMA process can be thought of as the output from a linear filter with a transfer function (B)/(B), when the input is white noise at 46 The Box-Jenkins model building process Model identification Autocorrelations Partial-autocorrelations Model estimation Model validation Certain diagnostics are used to check the validity of the model Model forecasting 47 Partial-autocorrelations (PACs) Partial-autocorrelations are another set of statistical measures are used to identify time series models PAC is Similar to AC, except that when calculating it, the ACs with all the elements within the lag are partialled out ( Box Jenkins, 1976) 48 Partial-autocorrelations (cont.) PACs can be calculated from the values of the ACs where each PAC is obtained from a different set of linear equations that describe a pure autoregressive model of an order that is equal to the value of the lag of the partial-autocorrelatio n computed PAC at lag k is denoted by kk The double notation kk is to emphasize that kk is the autoregressive parameter k of the autoregressive model of order k 49 Model identification The sample ACs and PACs are computed for the series and compared to theoretical autocorrelation and partial-autocorrelation functions for candidate models investigated 50 Stationarity and invertibility conditions For a linear process to be stationary, For a linear process to be invertible, 51 Stationarity requirements for AR(1) model For an AR( 1) to be stationary -1 lt 1 lt 1 ie the roots of the characteristic equation 1 - 1B 0 lie outside the unit circle For an AR(1) it can be shown that k 1 k 1 which with 0 1 has the solution k 1k k gt 0 ie for a stationary AR(1) model, the theoretical autocorrelation function decays exponentially to zero, however, the theoretical partial-autocorrelation function has a cut off after the 1st lag 52 Invertibility requirements for a MA(1) model For a MA(1) to be invertible -1 lt 1 lt 1 ie the roots of the characteristic equation 1 -. 1B 0 lie outside the unit circle For a MA(1) it can be shown that i. e. for an invertible MA(1) model, the theoretical autocorrelation function has a cut off after the 1st lag, however, the theoretical partial-autocorrelation function decays exponentially to zero 53 Higher order models For an AR model of order p gt 1 The autocorrelation function consists of a mixture of damped exponentials and damped sine waves The partial-autocorrelation function has a cut off after the p lag For a MA models of order q gt 1 The autocorrelation function has a cut off after the q lag The partial-autocorrelation function consists of a mixture of damped exponentials and damped sine waves 54 Permissible regions for the AR and MA parameters 55 Theoretical ACs and PACs (cont.) 56 Theoretical ACs and PACs (cont.) 57 Model identification 58 Model estimation 59 Model verificationPowerShow is a leading presentation/slideshow sharing website. 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